Александр Савватьевич Абрамский родился 10 (22) января 1898 года в городе Луцкe. в семье врача еврейской больницы Савватия Васильевича (Шевеля Вольфовича) Абрамского (1859 - ?) и Анны Фёдоровны Бурдо.Брал уроки игры на фортепьяно у К. Н. Игумнова, композиции у Г. Л. Катуара. Поступил в Московскую консерваторию по классу композиции (класс Николая Мясковского) которую окончил в 1927 г.
По окончании Московской консерватории участвовал в экспедициях по сбору музыкального фольклора. С 1950 года он был участником экспедиций по изучению фольклора в Советском Союзе.
Он побывал в Архангельской области, Вологде, Москве и Узбекистане. Здесь он записал 75 уйгурских песен. С 1951 года - преподаватель семинара начинающих композиторов при Союзе композиторов СССР.
Создавал многочисленные симфонические и хоровые произведения на основе народной музыки, обрабатывал народные песни, сочинял собственные песни и романсы.
В их числе сборник «Песни русского Севера» (Н.Доризо) - 1959, оратория «Человек идёт» (для хора, 3 баянов и оркестра, В. Кузнецов и В. Семернин) - 1963, кантата «О Ленине поём» (И. Дрёмов) - 1961,
«Сильный, смелый да умелый» (Л. Васильева) - 1967, вокальный цикл «Бывальщины» (Л. Васильева, В. Бутенко, Г. Георгиев) - 1969, симфония «Радуга» (с хором, В.Боков) - 1970, кантата «Край озёрной тишины» (В. Кузнецов и В. Семернин) - 1971,
пьеса «Встречи» - 1971, хоровой цикл «Северное сияние» - 1972, оратория «Хороводы» - 1977, кантата «Дорогая, неоглядная» - 1982, кантата «Земля приморская приветная» - 1982.
Скончался 29 августа 1985 года, похоронен на Митинском кладбище в Москве.